ケースにもよりますが、説明をしたい部署にいる教育委員会担当者や教育委員会経験者などに、どのように話を通したりどのような資料を準備したりすればよいかを聞くとよいと思います。
回答者の自治体では、所属長が教育委員会の他の所属長や財政部局に繰り返し必要性や市にとってのメリット、調達にあたって配慮することなどを訴え、担当者同士で話す環境を作ることに成功しました。
また、回答者の自治体では、利用している機器の保守ができない状況でしたので、システムが止まることでの業務停止や情報の消去の可能性、セキュリティの低下に加え、新学習指導要領への対応など複数の「ピンチ」と思われる状況が、首長（市長）部局の「必要性」との理解に変えることができ、予算化につながりました。
ただし、調達方法は従来の方法ではなく他のシステム調達と同じ方法をとったので、イチから資料を作ったり会議を開いたりするので苦労しましたが、何年かに一度同じことがあることを想定し、資料やノウハウが残せるように取り組んでいます。
関連部署に説明しようとしても機会が得られません。